Теория реактивного движения. Формула Циолковского

 

Принцип движения ракеты заключается в том, что её реактивная сила создаётся за счёт отбрасывания части массы (как правило, речь идёт о продуктах сгорания, выбрасываемых в направлении, противоположном направлению движения). Раздел механики, изучающий движения такого рода, называется «механика тел переменной массы».

Одним из родоначальников этого направления в науке был русский математик Мещерский, который в конце XIX века вывел из закона сохранения импульса формулу, названную впоследствии его именем:

 

m∙(dv/dt) = F + (v1-v) ∙dm/dt

 

где m и v – масса и скорость тела в момент t, F – сумма всех внешних сил, v1

– скорость присоединяющихся (отделяющихся) частиц, а слагаемое (v1-v) ∙dm/dt – величина, названная реактивной силой.

Вклад Циолковского состоит в том, что он, во-первых, применил формулу Мещерского к теории реактивного движения.

В общем случае движение ракеты подчиняется второму закону Ньютона: ускорение ракеты представляет собой отношение реактивной силы, действующей на ракету, к массе ракеты. Дело в том, что, поскольку масса ракеты постоянно меняется (т.к. продукты сгорания топлива выбрасываются), то и ускорение ракеты меняется каждый момент времени, и, следовательно, приращение скорости ракеты за тот или иной интервал времени будет своим для каждого интервала. Ускорение – это производная скорости, т.е. скорость изменения скорости. Математическая операция, в результате которой из формулы для вычисления скорости получают формулу для вычисления  ускорения, называют дифференцирование. Для того же, чтобы из формулы второго закона Ньютона для ускорения получить формулу для скорости, нужно провести обратную операцию, которая называется интегрирование. Циолковский провёл интегрирование формулы Мещерского применительно к ракете, в результате получил следующее соотношение, которое называют формулой Циолковского:

 

V = u × ln(M0/MK) = u × ln(1 + MT/MK)

 

где V - скорость, развиваемая ракетой, u - скорость истечения реактивных газов, M0 - стартовая масса ракеты, MК - масса ракеты без топлива, MT - масса топлива.

Эта формула была выведена К. Э. Циолковским в рукописи «Ракета» 10 мая 1897 года (22 мая по григорианскому календарю).

Во-вторых, заслуга Циолковского заключается в том, что он, проведя расчёты по этой формуле, доказал, что с помощью ракеты можно достичь скорости, достаточной для отрыва от земной поверхности и вывода полезного груза на орбиту искусственного спутника Земли (7,9 км/с), а также для того, чтобы выйти в космос за пределы земного притяжения (11,2 км/с). Естественно, при расчётах реальной ракеты необходимо учитывать поправки на коэффициент полезного действия.

При этом Циолковский показал, что, если использовать жидкостное реактивное топливо (наиболее эффективное из известных на тот момент), то для запуска спутника в космос будет недостаточно одноступенчатой ракеты – она должна быть как минимум двухступенчатой (а для более далёких запусков – и многоступенчатой). Именно эти выводы и были использованы на ранних этапах развития космонавтики и в СССР, и в других странах. Как легко видеть, для увеличения скорости ракеты нужно в первую очередь увеличить скорость истечения рабочего тела (частным случаем которого являются продукты сгорания жидкостного или твердотопливного ракетного двигателя)

В научной и околонаучной литературе иногда приходится встречать критику в адрес Циолковского: с одной стороны, его обвиняют в плагиате, будто бы его необоснованно считают автором формулы, открытой Мещерским (а сам Мещерский будто бы украл идею этой формулы у каких-то западных учёных). С другой стороны, Циолковского обвиняют в том, что будто бы его формула не имеет практической ценности, т.к. в ней не учитывается сила тяжести Земли, т.е. основная сила, которую должна преодолевать стартующая с Земли ракета.

На первое из этих обвинений можно ответить, что многие выдающиеся открытия носятся в воздухе – так, например, трудно сказать, кто был первым изобретателем паровой машины, автомобиля, радио, самолёта. Иногда в конечном итоге удаётся признать того, кто первым создал работоспособную конструкцию  (А.С.Попов в случае радио, братья Райт в случае самолёта), однако и они опирались на результаты менее удачливых предшестенников. То же и в случае исследования реактивного движения: Мещерский вывел своё уравнение для движения тел переменной массы как абстрактный общий случай, а Циолковскому удалось применить этот вывод для конкретной практической ситуации – реактивного движения.

Что же касается учёта силы тяжести, то оно было учтено, но не самой формуле Циолковского, а в известных соотношениях для первой и второй космической скоростей:

 

vк1 = √(gR) = √(GM/R)

 

vк2 = vк1 ∙ √2

 

где vк1 – первая космическая скорость, vк2 - вторая космическая скорость, G – гравитационная постоянная, g – ускорение свободного падения на поверхности планеты, M – масса планеты, R – радиус планеты (в общем случае – расстояние от центра масс небесного тела до точки старта). И Циолковский с помощью выведенной им формулы показал, что ракета способна достичь таких скоростей.